HP滤波

目的

HP 滤波是一种分解信号的低频趋势与高频部分的滤波方法：$y_t = g_t + c_t$，其中$y$代表初始信号，$g$代表信号的低频趋势，$c$代表高频的周期或噪声

优化函数

$min_g\sum_i^N(y_i-g_i)^2+\lambda\sum_i^{N-2}((g_{i+2}-g_{i+1})-(g_{i+1}-g_i))^2$

$\lambda$被称为光滑函数，取0时，该方法退化成最小二乘法，趋近于无限时，趋势接近线性函数，即越大越光滑

函数的前半部分刻画了对原序列的跟踪程度，后半部分刻画了所求趋势的光滑程度

后半部分可看做一个二阶差分方程，即可以用矩阵来表示信号的差分

简单记为$\nabla^2g=Dg$

由此可将问题转化为矩阵形式$min_g||y-g||_2^2+\lambda||Dg||_2^2$

求梯度，得$g=(I+\lambda D^TD)^{-1}y$

Python实现

def HP(self, y, lamb=100):
    def D_matrix(N):
            D = np.zeros((N - 1, N))
            D[:, 1:] = np.eye(N - 1)
            D[:, :-1] -= np.eye(N - 1)
            return D

    N = len(y)
    D1 = D_matrix(N)
    D2 = D_matrix(N - 1)
    D = np.matmul(D2, D1)
    g = np.matmul(np.linalg.inv((np.eye(N)+lamb*np.matmul(D.T, D))), y)
    return g

使用评价

处理完全成周期的数据还不错，但一旦有多余未成一个周期的几项，该方法无法将其识别为一个不完整的周期，对曲线的方向造成影响