代数学习笔记（一）

当我建立了这个文件后发现我好像给自己挖了个超级大坑……不管了，能学多少是多少吧，毕竟CS人不需要搞证明，感性理解即可。

数学大概可以分为三个阶段：

第一阶段为算术，在这个阶段，我们只关注具体的数字，百分比，平方根，取幂，各种进制等等。

第二阶段为初等代数，在这个阶段我们用符号代替具体数字，找到更一般的结论，更系统、更普遍的求解各种数量关系方法，高等代数本质和初等代数是一个东西，只是加深而已

第三阶段为抽象代数，又名近世代数、现代环数，主要研究的是代数结构，包括群、环、域、向量空间，线性空间属于抽象代数的一类

​ 注：线性空间和矩阵理论并不完全等同，矩阵理论属于选定一组基的线性空间

代数主要研究的是运算规则。一门代数， 其实都是从某种具体的运算体系中抽象出一些基本规则，建立一个公理体系，然后在这基础上进行研究。一个集合再加上一套运算规则，就构成一个代数结构。

抽象代数对初等代数的延伸如下：

1. 数 -> 集合
2. +/- ->二元运算
   • 对两个元素作二元运算，得到的新元素仍然属于该集合，这叫封闭性(closure)
3. 0/1 -> 单位元
   • 有些集合不存在单位元，如正整数集合没有加法单位元
   • 单位元是集合的一个特殊元素(跟二元运算有关)，满足单位元与其他元素相结合时，不改变该元素
4. 负数 -> 逆元素
   • 直观地说，逆元可以撤销操作
5. 结合律
6. 交换律
   • 并不是所有二元运算都满足交换律/结合律

下面是一些知识点的目录：